7. Integrals of some more types

Integrals of some more types

1. ∫ √(x² - a²) dx 
2.  ∫ √(a² - x²) dx 
3. ∫ √(x² + a²) dx

Proof:

[1] ∫ √(x² - a²) dx

Let I = ∫ √(x² - a²) dx

⇒I = ∫ 1. √(x² - a²) dx

⇒I = ∫ √(x² - a²) . 1dx

Let f(x) = √(x² - a²) and g(x) = 1

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [ f '(x) ∫ g(x) dx]  dx

Thus ∫ √(x² - a²) . 1dx = √(x² - a²) . ∫ 1 dx - ∫ [d/dx(√(x² - a²)) ∫1dx] dx

 

⇒ I = √(x² - a²) . x - ∫ 1/(2(√(x² - a²))) . 2x .x dx

⇒ I = x√(x² - a²) - ∫ x²/√(x² - a²) dx

⇒ I = x√(x² - a²) - ∫ (x² - a² + a²)/√(x² - a²) dx

⇒ I = x√(x² - a²) - ∫ (x² - a²)/√(x² - a²) dx - ∫ a²/√(x² - a²) dx

⇒ I = x√(x² - a²) - ∫ √(x² - a²) dx - ∫ a²/√(x² - a²) dx

⇒ I = x √(x² - a²) - I - ∫ a²/√(x² - a²) dx

⇒ 2I = x √(x² - a²) - a² ∫ 1/√(x² - a²) dx

⇒ 2I = x √(x² - a²) - a² log|x + √(x² - a²)| + C

⇒ I = x/2 . √(x² - a²) - a²/2 . log|x + √(x² - a²)| + C

Note: The integral of √(x² - a²) can also be evaluated by substituting x = a sec θ.

[2] ∫ √(x² + a²) dx

Let I = ∫ √(x² + a²) . 1dx         

Let  f(x) = √(x² + a²) and g(x) =1

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [ f '(x) ∫ g(x) dx]  dx

I = √(x² + a²) ∫ 1 dx - ∫ [d/dx (√(x² + a²)) ∫ 1dx] dx

⇒ I = √(x² + a²) . x - ∫ 1/(2√(x² + a²)). 2x . x dx

⇒ I = x √(x² + a²) - ∫ x²/√(x² + a²) dx

⇒ I = x √(x² + a²) - ∫ (x² + a² - a²)/√(x² + a²) dx

⇒ I = x√(x² + a²) - ∫ (x² - a²)/√(x² + a²) dx + ∫ a²/√(x² + a²) dx

⇒ I = x√(x² + a²) - ∫ √(x² + a²) dx + ∫ a²/√(x² + a²) dx

⇒ I = x √(x² + a²) - I + ∫ a²/√(x² + a²) dx

⇒ 2I = x √(x² + a²) + ∫ a² /√(x² + a²) dx

⇒ 2I = x √(x² + a²) +  a² ∫ 1 /√(x² + a²) dx

⇒ 2I = x √(x² - a²) + a² log|x + √(x² + a²)| + C

⇒ I = x/2 . √(x² + a²) + a²/2 . log|x + √(x² + a²)| + C

Note: The integral of √(x² + a²) can also be evaluated by substituting x = a tan θ.

[3] Let I= ∫ √(a² - x²) dx

   = ∫ √(a² - x²) . 1 dx

   =  ∫ √(a² - x²) . 1dx

Let  f(x) = √(a² - x²) and g(x) = 1

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [ f '(x) ∫ g(x) dx]  dx

= √(a² - x²) ∫ 1dx - ∫ [d/dx (√(a² - x²)) ∫ 1dx] dx

⇒ I = √(a² - x²) . x - ∫ 1/2(√(a² - x²)) . (-2x) . x dx

⇒ I = x√(a² - x²) - ∫ -x²/√(a² - x²) dx

⇒ I = x√(a² - x²) - ∫ ((a²-x²)-a²)/√(a² - x²) dx

⇒ I = x√(a² - x²) - ∫ (a²-x²)/√(a² - x²) dx + ∫ a²/√(a² - x²) dx

⇒ I = x√(a² - x²) - ∫ √(a² - x²) dx + ∫ a²/√(a² - x²) dx

⇒ I = x√(a² - x²) - I + ∫ a²/√(a² - x²) dx

⇒ 2I = x√(a² - x²) + a² ∫ 1/√(a² - x²) dx

⇒ 2I = x√(a² - x²) + a² sin^-1 (x/a) + C

⇒ I = x/2 √(a² - x²)+ a²/2 sin^-1 (x/a) + C

Note: The integral of √(a² - x²) can also be evaluated by substituting x = a sin θ.